segunda-feira, 7 de maio de 2007

O MUNDO DAMATEMATICA

Círculo Trigonométrico

Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o ponto A=(1,0).
O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido positivo considerado será o anti-horário.
A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos interiores, é denominada círculo trigonométrico.

Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como segue:
2o. quadranteabscissa: negativaordenada: positiva90º<ângulo<180º name="tr08">
Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas
m, m+2, m+4, m+6, ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas algébricas
m-2, m-4, m-6, ...
e temos assim uma coleção infinita de arcos com extremidade no ponto M.
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos representar as medidas destes arcos por:
µ(AM) = m + 2k
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.
Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira determinação positiva medindo 2/3, então os arcos desta família {AM}, medem:
Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0
µ(AM)=2/3
k=1
µ(AM)=2/3+2=8/3
k=2
µ(AM)=2/3+4=14/3
k=3
µ(AM)=2/3+6=20/3
...
...
k=n
µ(AM)=2/3+2n=(2+6n)/3
Determinações negativas (sentido horário)
k=-1
µ(AM)=2/3-2=-4/3
k=-2
µ(AM)=2/3-4=-6/3
k=-3
µ(AM)=2/3-6=-16/3
k=-4
µ(AM)=2/3-8=-22/3
...
...
k=-n
µ(AM)=2/3-2n=(2-6n)/3
Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2.
Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado pelas semi-retas OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2 correspondente ao arco AM.
Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam para ângulos.

Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=2-m.
Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k-m, onde k é um número inteiro.
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada pela expressão µ(AM')=-m.
Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k+-m=(2k+1)-m onde k é um número inteiro.
Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em relação a origem (0,0).
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')=+m. Arcos genéricos com origem em A e extremidade em M' medem:
µ(AM') = 2k + + m = (2k+1) + m
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TRIGONOMETRIA DO TRIANGULO RECTANGULO

Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito. (Fenelon)

Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

  • Determinação da altura de um certo prédio.

  • Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.

  • Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.

  • Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.

  • Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

TermoOrigem da palavra
CatetoCathetós: (perpendicular)
HipotenusaHypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

LetraLadoTriânguloVértice = ÂnguloMedida
aHipotenusaA = Ângulo reto A=90°
bCateto
B = Ângulo agudoB<90°
cCatetoC = Ângulo agudoC<90°

Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

ÂnguloLado opostoLado adjacente
Cc cateto opostob cateto adjacente
Bb cateto opostoc cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Propriedades do triângulo retângulo

  1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.

  2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.

  3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

  1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.

  2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

  3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.

Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

  1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.

  2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.

  3. a = m+n.

  4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.

Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulohipotenusacateto maiorcateto menor
ABCabc
ADCbnh
ADBchm

Assim:

a/b = b/n = c/h a/c = b/h = c/m b/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.m a/b = b/n equivale a b² = a.n a/c = b/h equivale a a.h = b.c h/m = n/h equivale a h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

FunçãoNotaçãoDefinição
senosen(x)medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
cossenocos(x)medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
tangentetan(x)medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

sen(x)=CO
H		=CO
1		 cos(x)=CA
H		=CA
1		 tan(x)=CO
CA		=sen(x)
cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1

Os números governam o mundo. (Platão)

Valid XHTML 1.0! Construída por Delson S. Imuka Atualizada em 14/out/2004.

PROBLEMAS CRIATIVO

Testes e Problemas Criativos

Uma das principais funções da Matemática é desenvolver a inteligência do Ser Humano. Os problemas apresentados são relacionados com a Matemática e normalmente aparecem em livros sobre criatividade, revistas e materiais didáticos de Matemática. Apresentamos soluções para alguns dos problemas, pois o objetivo é promover o interesse do visitante pela Matemática.

Problema 01: Uma vasilha cilíndrica circular com capacidade para 1 litro está cheia de suco.

De que forma pode ser feita a transferência de suco da vasilha maior para uma outra vasilha irregular com capacidade para 678 ml, de modo que ambas as vasilhas fiquem com exatamente 500 ml, sem usar outras vasilhas.

Problema 02: Palitos e mais palitos

  1. Dada a figura em cor maravilha com 12 palitos, mova 3 palitos para obter três quadrados.

  2. Usando 9 palitos de fósforo, construa o 100.

    I I I I I I I I I

  3. Retirar 3 palitos do desenho em azul para obter 3 quadrados.

  4. Acrescente 8 palitos a 3 palitos para obter oito.

    I I I I I I I I I I I

  5. Mover 5 palitos na figura verde para obter 3 quadrados.

  6. Usando 6 palitos de mesmo tamanho, construir 4 triângulos equiláteros.

  7. Mova 2 palitos na figura em laranja para obter 5 quadrados.

Problema 03: Um feirante vendia queijos em peças. Ao primeiro comprador, ele vendeu a metade das peças que possuia mais meio queijo. Ao segundo, ele vendeu a metade do que restou mais meio queijo. Assim seguiu vendendo até chegar ao sexto e ultimo comprador que comprou a metade do que o feirante possuia mais meio queijo, encerrando as atividades com todos os queijos vendidos. Quantos queijos possuia o vendedor?

Problema 04: Determinar um número natural que dividido por 2 tem resto 1, dividido por 3 tem resto 2, dividido por 4 tem resto 3, dividido por 5 tem resto 4, dividido por 6 tem resto 5, e dividido por 7 tem resto 0.

Problema 05: Qual é a fórmula que fornece a soma:

  1. Dos n primeiros números naturais?

  2. Dos n primeiros números naturais pares?

  3. Dos n primeiros números naturais ímpares?

  4. Dos quadrados dos n primeiros números naturais?

  5. Dos quadrados dos n primeiros números naturais pares?

  6. Dos quadrados dos n primeiros números naturais ímpares?

  7. Dos cubos dos n primeiros números naturais?

  8. Dos cubos dos n primeiros números naturais pares?

  9. Dos cubos dos n primeiros números naturais ímpares?

  10. Das potências de ordem 4 dos n primeiros números naturais?

  11. Das potências de ordem 5 dos n primeiros números naturais?

  12. Das potências de ordem 6 dos n primeiros números naturais?

Problema 06: Como se pode repartir para três pessoas, 21 tonéis de vinho, se 7 tonéis estão vazios, 7 tonéis estão cheios e 7 tonéis estão pela metade, de modo que no final da divisão cada pessoa tenha a mesma quantidade de vinho e de tonéis.

Problema 07: Como se pode repartir igualmente para duas pessoas, 8 litros de vinho que estão em uma vasilha maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma com capacidade para 5 litros e outra com capacidade para 3 litros.

Problema 08: Como se pode repartir igualmente para duas pessoas, 16 litros de vinho que estão em uma vasilha maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma com capacidade para 11 litros e outra com capacidade para 6 litros.

Problema 09: Desejamos construir uma coleção de "pesos" para medir massas de objetos com uma balança contendo dois pratos equilibrados.

De que forma uma barra metálica com a massa de 40 Kg poderá ser cortada em apenas 4 partes de modo a se poder pesar objetos desde 1 Kg até 40 Kg.

Problema 10: Dinheiros iguais: Uma pessoa falou com a outra: "Se você me der R$1,00, eu terei o dobro do que você tem". Então o outro disse: "Se você me der R$1,00, teremos dinheiros iguais". Quanto tinha cada um?

Problema 11: Há 10 litros de vinho em 3 vasilhas, com capacidades iguais a 5 litros, 3 litros e 7 litros, respectivamente. A primeira contem 4 litros de vinho, a segunda está vazia e a terceira contem 6 litros de vinho.

Como se pode repartir em duas partes iguais o vinho, usando apenas estas três vasilhas?

Problema 12 (dos camelos): Um velho tinha três filhos e lhes deu a ordem que depois de morto, deveriam dividir os 35 camelos que possuia, de modo que o primeiro filho deveria receber a metade deles, o segundo deveria receber um terço e ao último caberia um nono. Como não houve concordância entre eles, foram até um sábio que também possuía um camelo. Como foi que o sábio realizou a divisão de forma que todos os filhos ficaram satisfeitos com a divisão e no final até mesmo o sábio acabou ganhando algo?

Problema 13: Três casais foram fazer compras em uma feira de exposição. João, José e Juca, são casados com Maria, Marlene e Mara. Quem está casado com quem, se sabemos que cada uma dessas seis pessoas pagou por cada objeto comprado o mesmo número (em R$) que o número de objetos comprados. Cada homem gastou R$48,00 a mais que a sua mulher. Além disso, João comprou 9 objetos a mais do que Marlene e José comprou 7 objetos a mais do que Maria.

Sugestão: Considere que para um certo casal, o homem comprou h objetos e a mulher m objetos.

Problema 14: De uma folha de papel sulfite, qual é o quadrado de maior área que você pode cortar sem realizar emendas?

Problema 15: De uma folha de papel sulfite, qual é o triângulo equilátero de maior área que você pode cortar sem realizar emendas?

Considere o cilindro circular sendo olhado de longe. O mesmo parecerá um retângulo. Coloque as letras A, B, C e D como se fossem os vértices do retângulo e vá despejando o suco na outra vasilha até que as letras A e C estejam na mesma horizontal (diagonal do retângulo). Neste instante você estará com a metade do suco.

Problema 16: De uma folha de papel sulfite, qual é o triângulo isósceles de maior área que você pode cortar sem realizar emendas?

Problema 17: De uma folha quadrada de papel sulfite, como se pode cortar um hexágono regular de maior área sem realizar emendas?

Problema 18: Usando o triângulo, demonstre que a soma dos ângulos internos do mesmo corresponde a 180o.

Sugestão: Considere as partes que têm a mesma cor, dobrando a metade de cada uma sobre a outra metade para constatar o resultado.

Problema 19: De uma folha quadrada de papel sulfite, como se pode cortar um octógono regular de maior área sem realizar emendas?

Problema 20: Demonstre geometricamente que (-1).(-1)=+1 utilizando o desenho abaixo.

p20
Sugestão: Desenvolver
 (a-b)(a-b)= a.a+a.(-b)+(-b).a+(-b).(-b)
e utilizar o fato que
 a.(-b)=(-b).a=-ab
a.a é a área do quadrado de lado a.

Problema 21: Você saberia colocar 8 rainhas em um tabuleiro de xadrez de forma que uma não possa capturar a outra?

Problema 22: Você saberia fazer com que um cavalo percorra todo o tabuleiro de um jogo de xadrez sem nunca voltar a uma posição já ocupada anteriormente?

Problema 23: Cortar a cruz, construída com 4 quadrados, que aparece no desenho em anexo, de modo a construir um outro quadrado maior.

Problema 24: Veja a Tabela Mágica abaixo, pense em um número natural menor que 32 e diga ao "Mágico" em quais linhas este número está. De uma forma rápida ele dirá o número que você pensou. De um ponto de vista matemático, você saberia explicar o funcionamento da tabela?

Linha 1135791113151719212325272931
Linha 22367101114151819222326273031
Linha 34567121314152021222328293031
Linha 4891011121314152425262728293031
Linha 516171819202122232425262728293031

Problema 25: Com três 5 e as operações elementares, obtenha:

  1. O número 0;

  2. O número 1;

  3. O número 2;

  4. O número 4;

  5. O número 5;

  6. Outros números.

Problema 26: Uma lesma está subindo em uma parede de 4 metros de altura. A cada dia ela sobe 20 centímetros e quando dorme agarrada à parede desce 10 centímetros. Ao final de quantos dias, a lesma terá atingido a altura máxima da parede, onde poderá descansar tranqüila sem o problema de ficar escorregando?

Problema 27 (Torres de Hanoi): Coloca-se uma tábua com três hastes A, B e C, onde são colocados n discos perfurados, sendo os menores colocados sobre os maiores. Deve-se mover todos os n discos que estão colocados na haste A até a haste C de forma que nunca um disco maior fique colocado sobre um disco menor, utilizando a haste B que está no meio para a transição.

Que características matemáticas e qual é o menor número de vezes que se usa para tal movimento se o número de discos é n=5? Tente simular situações com n=2, 3, 4, 5, 6, ...?

Problema 28: Considere um jogo de dominó com as suas 28 peças. Qual é a soma dos pontos de todas as

  1. peças?

  2. peças de modo que um dos lados tenha zero?

  3. peças de modo que um dos lados tenha um número par?

  4. peças de modo que ambos os lados tenha números pares?

  5. peças de modo que um dos lados tenha um número ímpar?

  6. peças de modo que ambos os lados têm números ímpares?

Problema 29: Construa um Quadrado Latino 3x3, que é um quadrado 3x3, de acordo com a figura em anexo, onde são colocados somente os algarismos 1, 2 e 3 nos quadradinhos de forma que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre 6.

Problema 30: Construa um Quadrado latino 3x3 com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 de forma que a que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre igual.

Problema 31: Construa um Quadrado Latino 4x4, com os números 1, 2, 3, ..., 16 de forma que a que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre igual.

Problema 32: Construa um Quadrado Latino 5x5, com os números 1, 2, 3, ..., 25 de forma que a que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre igual.

Problema 33: Você conhece um método prático para elevar ao quadrado um número terminado em 5?

Problema 34: Você sabe que num relógio com ponteiros, os ponteiros de Hora e Minuto se encontram após 1:00 h, após 2:00 h, após 3:00 h, ... Você saberia calcular com a maior precisão possível as horas, minutos e segundos em que tais "encontros" ocorrem. Você saberia mostrar qual e que tipo de Matemática é usada para resolver este problema?

Problema 35: Sabemos que

33 + 43 + 53 = 63 e 93 + 103 = 13 + 123

Identifique outros números naturais para os quais valem as relações:

x3 + y3 + z3 = w3 e x3 + y3 = z3 + w3

Problema 36 (Teorema de Sofia Germain): Demonstrar que se a é um número natural maior do que 1, então todo número da forma

a4 + 4

é composto, isto é, é produto de dois números naturais.

Problema 37: Sobre números Primos:

  1. O que é um número Primo?

  2. Qual é o maior número primo que você conhece?

  3. Você gostaria de aumentar o seu conhecimento sobre os números primos?

Sugestão: Para responder à última pergunta, substitua o número que aparece na caixa abaixo por um número natural maior do que 1 e pressione o botão Verificar.

Problema 38: Os números 12 e 42 têm uma propriedade curiosa. O produto de 12 por 42 é igual a 504. Se trocarmos os algarismos dos dois números, obteremos os números 21 e 24 cujo produto ainda é 504. O mesmo acontece com os número 26 e 93. Identifique outros números com esta propriedade.

Problema 39 (do papiro Rhind): Entre cinco pessoas foram repartidas 100 medidas de trigo, de modo que a segunda recebeu a mais do que a primeira o mesmo que a terceira recebeu a mais do que a segunda, que corresponde ao mesmo que a quarta recebeu a mais do que a terceira e também a mesma quantidade que a quinta recebeu a mais do que a quarta. Quanto recebeu cada pessoa?

Problema 40: Dado o número 36, de que forma ele poderá ser repartido em duas partes de modo que o produto das partes seja o maior possível?

Sugestão: Usar somente conceitos do Ensino Fundamental e Ensino Médio, justificando a sua resposta do ponto de vista analítico e não somente do ponto de vista aritmético.

Problema 41: Frações egípcias: Você sabe escrever o número 1 como soma de frações em que o numerador é sempre 1 e os denominadores são números naturais?

Problema 42: Qual é a solução da equação:

Problema 43: Temos R$100,00 para comprar três tipos de objetos cujos custos unitários correspondem a R$1,00, R$4,00 e R$12,00. Quais são as possibilidades que existem para que se compre a maior quantidade de objetos?

Problema 44: Quais são os números e qual é o maior número que se pode obter com a combinação de:

  1. três 2

  2. três 3

  3. três 4

  4. quatro 1

  5. quatro 2

Sugestão: Pode-se usar a colocação lado a lado, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação, etc... como por exemplo: (2+2)*2 = 8 ou (22)2=...

Problema 45: No produto abaixo, substituímos algarismos por asteriscos. Você saberia obter os valores corretos e substituir no lugar dos asteriscos?

...*1*
×..3*2
------
...*3*
..3*2*
..*2*5
------
1*8*30

Problema 46: Qual é a área da região "vermelha" (abaixo)?

Problema 47: Qual é a área da região "verde" (acima) sabendo-se que as quatro circunferências menores são tangentes aos eixos coordenados e também estão tangenciando internamente a circunferência maior cujo raio tem 12 cm?

Problema 48: Qual é a área da região "azul" (abaixo) sabendo-se que as duas circunferências pequenas são tangentes aos eixos coordenados e o raio da circunferência maior mede 12 cm?

Problema 49: Qual é a área da região "vermelha" (acima) localizada na região elíptica cujos semi-eixos são a e b?

Dica: Use o nosso pesquisador e visite outro link desta página para saber como calcular a área de uma região elíptica.

Problema 50: Qual é a relação de desigualdade existente entre as médias aritmética, geométrica e harmônica de dois números reais positivos? Você saberia generalizar a relação de desigualdade para um número finito de números reais positivos? Você saberia usar tais desigualdades para obter situações de máximo ou de mínimo de funções reais, sem ter que usar derivadas ou outros conceitos mais avançados da Matemática?

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